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一、题目要求二、相关的基础知识2.1 马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型2.2 逻辑斯蒂(Logistic)增长模型2.3 改进的Logistic模型2.4 BP神经网络模型
三、模型的建立与求解3.1 Malthus模型3.2 Logistic模型3.3 改进的Logistic模型3.4 BP神经网络模型
四、人口数量的预测及分析
一、题目要求
1790-1980年间美国每隔10年的人口数量记录如下表所示。 表1 1790-1980年间美国每隔10年的人口数量记录表 年份17901800181018201830184018501860187018801890190019101920193019401950196019701980人口 ( × 1 0 6 ) \left (\times 10^{6} \right ) (×106)3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5 1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型,对接下来的每隔十年预测五次人口数量,并查阅实际数据进行比对分析。2.如果数据不相符,再对以上模型进行改进,寻找更为合适的模型进行预测,并对两次预测结果进行对比分析。 二、相关的基础知识关于人口增长的模型常用的有马尔萨斯人口指数增长模型、Logistic增长模型以及改进的Logistic模型,它们常被用于预测人口增长。本次问题求解中除了使用这三种常用的人口增长模型外,还使用了BP神经网络模型来预测人口。 2.1 马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型提出: 马尔萨斯模型来自于英国经济学家托马斯·罗伯特·马尔萨斯于1798年发表的《人口原理》。 马尔萨斯的人口论指出: 在没有生存资源限制的情况下,人口或生物种群的数量成指数增长。 定义: 关于人口或种群增长的模型。 模型的建立: 人口数量在单位时间内增长的百分比 r r r 是一定的,写成一个微分方程的形式,设 t = 0 t = 0 t=0时刻的人口数量为 N 0 N_{0} N0,则 t t t 时刻的总人口 N t N_{t} Nt满足 1 N t d N t d t = r ⇒ N t = N 0 e r t \frac{1}{N_{t}}\frac{dN_{t}}{dt}=r\Rightarrow N_{t}=N_{0}e^{rt} Nt1dtdNt=r⇒Nt=N0ert 马尔萨斯认为,如果人口长期不受控制的话,指数增长的速度会十分惊人,生存资源的增长速度将无法满足众多人口的生存需要,从而产生一系列人口问题,严重时甚至会爆发饥荒、战争和疾病来除去资源与环境无法承受的过剩人口。 2.2 逻辑斯蒂(Logistic)增长模型马尔萨斯人口论自提出以来,就一直是一个备受争议的理论。例如:在受到资源环境限制的情况下,人口还能否做指数爆炸式的增长呢?假设资源环境能承受的人口数量为 K K K,则可以建立一个Logistic方程 1 N t d N t d t = r ( 1 − N t K ) \frac{1}{N_{t}}\frac{dN_{t}}{dt}=r\left (1-\frac{N_{t}}{K} \right ) Nt1dtdNt=r(1−KNt) 这个方程将得出仅在人口 N t < < K N_{t}dtdN(t)=rN(t)[1−KN(t)]N(0)=N0 其中, K K K表示最大环境容纳量。 求解该微分方程模型可解得第 t t t年的人口数量为 N ( t ) = K 1 + ( K N 0 − 1 ) e − r ( t − t 0 ) N\left ( t \right )=\frac{K}{1+\left ( \frac{K}{N_{0}} -1\right )e^{-r(t-t_{0})}} N(t)=1+(N0K−1)e−r(t−t0)K 模型的求解 使用MATLAB的cftool工具箱对数据进行拟合:求解该微分方程模型可解得第 t t t年的人口数量为 N ( t ) = K [ ( N 0 K ) e − r ( t − t 0 ) l n K ] N(t)=K\left [ (\frac{N_{0}}{K})e^{\frac{-r(t-t_{0})}{lnK}} \right ] N(t)=K[(KN0)elnK−r(t−t0)] 模型的求解 使用MATLAB的cftool工具箱对数据进行拟合:![]() 用1790-1980年间美国每隔10年的人口数量作为训练集去拟合模型,用拟合好的模型去预测1990-2030年间美国每隔10年的人口数量,并计算每个模型所预测的1790-2030年间美国每隔10年的人口数量与真实值之间的误差和 E E E。 表2 1990-2030年间美国每隔10年的人口数量记录表 年份19902000201020202030人口 ( × 1 0 6 ) \left (\times 10^{6} \right ) (×106)250.181282.413310.483326.767—— Malthus模型 表3 Malthus模型对1990-2030年间美国每隔10年的人口数量进行预测的结果 年份19902000201020202030人口 ( × 1 0 6 ) \left (\times 10^{6} \right ) (×106)331.9474414.5429517.6900646.5022807.3656经过预测后计算可得, Malthus模型预测的总误差为1070.944344(百万)。 Logistic模型 表4 Logistic模型对1990-2030年间美国每隔10年的人口数量进行预测的结果 年份19902000201020202030人口 ( × 1 0 6 ) \left (\times 10^{6} \right ) (×106)231.9765243.4314252.8001260.3193266.2630经过预测后计算可得, Logistic模型预测的总误差为265.616329(百万)。 改进的Logistic模型 表5 改进的Logistic模型对1990-2030年间美国每隔10年的人口数量进行预测的结果 年份19902000201020202030人口 ( × 1 0 6 ) \left (\times 10^{6} \right ) (×106)248.8625273.7884299.3514325.4116351.8302经过预测后计算可得, 改进的Logistic模型预测的总误差为67.551021(百万)。 BP神经网络模型 表6 BP神经网络模型对1990-2030年间美国每隔10年的人口数量进行预测的结果 年份19902000201020202030人口 ( × 1 0 6 ) \left (\times 10^{6} \right ) (×106)252.1015277.7805303.0367327.2741349.9891经过预测后计算可得, BP神经网络模型预测的总误差为54.471387(百万)。 四种模型预测结果对比 表7 四种模型对1990-2030年间美国每隔10年的人口数量进行预测的结果进行对比
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